Информация о задаче

Задача 54474

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC основание AB является диаметром окружности, которая пересекает боковые стороны AC и CB в точках D и E соответственно. Найдите периметр треугольника ABC, если AD = 2, AE = ${\frac{8}{3}}$ .

Подсказка

Докажите, что BE = AD и рассмотрите подобные треугольники AEB и COB (O — центр данной окружности).

Решение

Поскольку $\angle$ DAB = $\angle$ EBA, то $\cup$ DB = $\cup$ AE. Поэтому $\cup$ BE = $\cup$ AD и BE = AD = 2. Поскольку $\angle$ AEB = 90^o, то

AB = $\displaystyle \sqrt{AE^{2}+ BE^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{64}{9} + 4}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{3}}$ .

Пусть O — центр окружности. Из подобия треугольников AEB и COB следует, что ${\frac{OB}{BC}}$ = ${\frac{BE}{AB}}$ . Отсюда находим, что

AC = BC = $\displaystyle {\frac{OB\cdot AB}{BE}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{3}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\frac{10}{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{9}}$ .

Следовательно, периметр треугольника ABC равен

2BC + AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{50}{9}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{80}{9}}$ .

Ответ

${\frac{80}{9}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2238