Информация о задаче

Задача 54481

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что AB = 2, AC = 5, BC = 6. Найдите расстояние от вершины B до точки пересечения высот.

Подсказка

Расстояние BH от вершины B до точки H пересечения высот треугольника ABC равно удвоенному расстоянию от центра O описанной окружности до стороны AC.

Решение

По теореме косинусов находим, что

cos $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle {\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}}$ = $\displaystyle {\frac{4+36-25}{2\cdot 2\cdot 6}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{8}}$ .

Тогда

sin $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle \sqrt{1-\cos^{2} \angle B}$ = $\displaystyle \sqrt{1-\left(\frac{5}{8}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{39}}{8}}$ .

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, R — её радиус, M — проекция центра на сторону AC. Тогда BH = 2OM. По теореме синусов

AO = R = $\displaystyle {\frac{AC}{2\sin \angle B}}$ = $\displaystyle {\frac{5}{2\cdot \frac{\sqrt{39}}{8}}}$ = $\displaystyle {\frac{20}{\sqrt{39}}}$ .

Следовательно,

AH = 2OM = $\displaystyle \sqrt{AO^{2}-AM^{2}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{AO^{2}- \frac{AC^{2}}{4}}$ =

= 2 $\displaystyle \sqrt{\frac{400}{39} - \frac{25}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{25}{\sqrt{39}}}$ .

Ответ

${\frac{25}{\sqrt{39}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2245