Информация о задаче

Задача 54484

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что обратная величина квадрата высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна сумме обратных величин квадратов катетов.

Подсказка

Произведение указанной высоты на гипотенузу равно произведению катетов.

Решение

Пусть h — указанная высота, a, b — катеты прямоугольного треугольника, c — гипотенуза, S — площадь. Тогда

S = $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{ch}{2}}$ .

Поэтому

h = $\displaystyle {\frac{ab}{c}}$ , $\displaystyle {\frac{1}{h}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{ab}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{1}{h^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{c^{2}}{(ab)^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2}b^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{a^{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{b^{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2248