Информация о задаче

Задача 54495

Темы:	[	Площадь параллелограмма	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD большая сторона AD равна 5. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M. Найдите площадь параллелограмма, если BM = 2, а cos $\angle$ BAM = ${\frac{4}{5}}$ .

Подсказка

Докажите, что треугольник AMB — прямоугольный.

Решение

Поскольку $\angle$ BAD + $\angle$ ABC = 180^o, то треугольник AMB — прямоугольный. Поэтому

AB = $\displaystyle {\frac{BM}{\sin \angle BAM}}$ = 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{3}}$ .

По формуле sin 2 $\alpha$ = 2 sin $\alpha$ cos $\alpha$ находим, что

sin $\displaystyle \angle$ BAD = 3^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{24}{25}}$ .

Следовательно,

S_ABCD = AD^.AB sin $\displaystyle \angle$ BAD = 5^. $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{3}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{24}{25}}$ = 16.

Ответ

16.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2259