Задача 54499

Темы:    [ Круг, сектор, сегмент и проч. ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В сегмент с дугой 120^o и высотой h вписан прямоугольник ABCD, причём AB : BC = 1 : 4 (BC лежит на хорде). Найдите площадь прямоугольника.

Подсказка

Докажите, что радиус окружности равен 2h и примените теорему Пифагора к треугольнику с вершинами: в центре окружности, в середине большей стороны прямоугольника и в вершине, принадлежащей этой стороне.

Решение

Обозначим AB = x. Тогда AD = 4x. Пусть O — центр окружности, а радиус, перпендикулярный хорде данного сегмента, пересекает BC в точке K, а AD — в точке M. Тогда K и M — середины отрезков BC и AD.

Если R — радиус окружности, то OK = как катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30^o. Поэтому h + = R. Следовательно, R = 2h.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMD. По теореме Пифагора

(x + h)² + 4x² = 4h².

Отсюда находим, что x = . Следовательно,

S_ABCD = 4x² = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2263