Информация о задаче

Задача 54501

Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC с тупым углом A, равным $\alpha$ , проведены высоты BN и CM. Найдите отношение площади четырёхугольника BMNC к площади треугольника ABC.

Подсказка

S_BMNC = ${\frac{1}{2}}$ BN^.CM sin $\alpha$ .

Решение

Обозначим BC = a. Если AK — высота треугольника ABC, то

AK = BKctg $\displaystyle \angle$ BAK = $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ ctg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Тогда

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.AK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ a²ctg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Из прямоугольного треугольника BNC находим, что

BN = BC cos $\displaystyle \angle$ NBC = a cos $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}}\right.$ 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}}\right)$ = a sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Аналогично CM = a sin ${\frac{\alpha}{2}}$ . Тогда

S_BMNC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BN^.CM sin $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a²sin² $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ sin $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{BMNC}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\sin \alpha}{{\rm ctg }\frac{\alpha}{2}}}$ = 4 sin⁴ $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Ответ

4 sin⁴ ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2265