Задача 54504

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Из произвольной точки M, лежащей внутри правильного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MC₁, MA₁, MB₁ на стороны AB, BC и CA соответственно. Докажите, что

AC₁ + BA₁ + CB₁ = C₁B + A₁C + B₁A.

Подсказка

Выразите AM по теореме Пифагора из треугольников AC₁M и AB₁M. Аналогично для отрезков BM и CM.

Решение

Пусть сторона треугольника ABC равна a. Докажем, что

AC₁ + BA₁ + CB₁ = .

Отсюда будет следовать утверждение задачи.

Обозначим

AC₁ = x, BA₁ = y, CB₁ = z, MA₁ = h₁, MB₁ = h₂, MC₁ = h₃.

Тогда

C₁B = a - x, A₁C = a - y, B₁A = a - z.

По теореме Пифагора

x² + h²₃ = h²₂ + (a - z)², y² + h²₁ = h²₃ + (a - x)², z² + h²₂ = h²₁ + (a - y)².

Сложив почленно эти равенства, получим, что

3a² - 2a(x + y + z) = 0.

Следовательно,

x + y + z = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2268