Задача 54551

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На плоскости даны точки A и B . Найдите геометрическое место точек M , для которых разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна.

Решение

Пусть P — проекция точки M на прямую AB и AM > BM . Тогда по теореме Пифагора

AM2 - AP2 = BM2 - BP2 = MP2.
Следовательно,
AM2 - BM2 = AP2 - BP2.

Ясно, что если M1 — любая точка прямой MP , то
AM21 - BM21 = AP2 - BP2 = AM2 - BM2.
Таким образом, достаточно на прямой AB найти точку P такую, что разность AP2 - BP2 равна заданной величине. Тогда искомое геометрическое место точек есть прямая, проходящая через точку P перпендикулярно данной прямой AB .


Пусть A и B — данные точки и AB = c , M — точка, для которой MB2- MA2 = d — данное число. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат следующим образом. Начало координат — точка A , ось абсцисс направлена по лучу AB , ось ординат перпендикулярна AB . Выпишем координаты данных точек: A(0;0) и B(c;0) .
Для того, чтобы точка M(x;y) принадлежала искомому геометрическому месту точек, необходимо и достаточно, чтобы
MB2 - MA2 = d, или (x-c)2+ y2 - (x-c)2- y2 = d.
После упрощения получим уравнение x = , т.е. уравнение прямой, перпендикулярной AB .

Ответ

Прямая, перпендикулярная AB .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2445