Задача 54560

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Найдите геометрическое место середин отрезков, соединяющих данную точку, лежащую вне данной окружности, с точками этой окружности.

Подсказка

Рассмотрите гомотетию с центром в данной точке и коэффициентом .

Решение

Рассмотрим гомотетию с центром в данной точке M и коэффициентом . При этой гомотетии данная окружность перейдёт в окружность, радиус которой равен половине радиуса данной, а центр — середина отрезка OM, где O — центр данной окружности.

Любая точка этой окружности является серединой отрезка с концами в данной точке M и на данной окружности.

С другой стороны, середина любого такого отрезка лежит на построенной окружности.

Ответ

Окружность.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2454