Информация о задаче

Задача 54562

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
Темы:	[	Касающиеся окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны прямая и на ней точки A и B. Найдите геометрическое место точек касания окружностей, одна из которых касается данной прямой в точке A, другая — в точке B.

Подсказка

Если M — точка касания указанных окружностей, то $\angle$ AMB = 90^o.

Решение

Если M — точка касания окружностей, касающихся данной прямой в точках A и B, то $\angle$ AMB = 90^o. Следовательно, точка M лежит на окружности с диаметром AB.

Рассмотрим теперь любую точку P этой окружности, отличную от A и B. Построим окружность, проходящую через точку P и касающуюся данной прямой в точке A. Если O₁ — её центр, то

$\displaystyle \angle$ O₁AB = 90^o, $\displaystyle \angle$ O₁PA = $\displaystyle \angle$ O₁AP = 90^o - $\displaystyle \angle$ PAB.

Пусть O₂ — точка пересечения прямой O₁P с перпендикуляром к данной прямой, проведённым через точку B. Тогда

$\displaystyle \angle$ O₂PB = 180^o - $\displaystyle \angle$ O₁PA - $\displaystyle \angle$ APB =

= 180^o - (90^o - $\displaystyle \angle$ PAB) - 90^o = $\displaystyle \angle$ PAB = $\displaystyle \angle$ O₂BP.

Следовательно, треугольник O₂PB — равнобедренный, O₂P = O₂B, и окружность, с центром O₂ и радиусом, равным O₂P, касается построенной ранее окружности в точке P, а данной прямой — в точке B.

Таким образом, точка P является точкой касания двух окружностей, касающихся прямой AB в точках A и B.

Ответ

Окружность без двух точек.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2457