Задача 54572

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Постройте треугольник ABC, зная положение центров A₁, B₁ и C₁ его вневписанных окружностей.

Подсказка

Докажите, что A₁A, B₁B и C₁C – высоты треугольника A₁B₁C₁.

Решение

  Предположим, что треугольник ABC построен. Поскольку биссектрисы внешних углов при вершинах, например, B и C треугольника ABC пересекаются под углом  90° – ½ ∠A < 90°,  то треугольник A₁B₁C₁ остроугольный. Лучи AB₁ и AA₁ – биссектрисы смежных углов. Поэтому  ∠A₁AB₁ = 90°.  Следовательно, AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты треугольника A₁B₁C₁.
  Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём высоты треугольника A₁B₁C₁. Точки их пересечения со сторонами треугольника A₁B₁C₁ – вершины искомого треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2467