Задача 54573

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трём высотам.

Подсказка

Стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам.

Решение

  Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть h_a, h_b и h_c – данные высоты, соответствующие сторонам a, b и c искомого треугольника. Из формулы площади треугольника следует, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам.

  Первый способ. Значит, искомый треугольник подобен треугольнику со сторонами h_a, h_b, ^h_ah_b/_hc.
  Отсюда вытекает следующий способ построения. Сначала построим отрезок  x = ^h_ah_b/_hc.  Затем построим треугольник со сторонами h_a, h_b, x. Проведём в нём высоту к стороне, равной h_b, и отложим на ней от вершины треугольника отрезок, равный h_a. Через конец этого отрезка (отличный от вершины) проведём перпендикулярную ему прямую. Точки пересечения этой прямой с продолжениями сторон построенного треугольника – две оставшиеся вершины и искомого треугольника (см. рис.).

  Второй способ. Возьмём M и, выпустив из неё три луча под углами 120°, отложим на них отрезки  MX = h_a,  MY = h_b,   MZ = h_c.  Вторые точки пересечения прямых MX, MY, MZ с описанной окружностью треугольника XYZ дадут три отрезка MX₁, MY₁ и MZ₁, пропорциональные сторонам a, b, c искомого треугольника. Далее действуем как в первом способе.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2468