Задача 54578

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности в данной на ней точке A.

Подсказка

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания; центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Решение

Первый способ.

Предположим, что искомая окружность построена. Пусть O₁ — её центр, A — данная точка касания окружностей, M — точка пересечения общей касательной к двум окружностям, проходящей через точку A, с данной прямой l, P — точка касания построенной окружности с прямой l. Тогда MO₁— биссектриса угла AMP и прямая O₁A проходит через центр O данной окружности.

Отсюда вытекает следующее построение. Проведём касательную к данной окружности через точку A. Пусть она пересекает данную прямую в точке M. Построим биссектрисы смежных углов, образованных этой касательной с прямой l. Точки пересечения построенных биссектрис с прямой AO есть центры искомых окружностей (внешнее и внутреннее касание).

Второй способ.

Любые две окружности гомотетичны. Если окружности касаются, то один из центров гомотетии этих окружностей есть их точка касания.

Отсюда вытекает следующее построение. Проведём касательные к данной окружности с центром O, параллельные данной прямой l. Пусть B и B₁ — полученные при этом точки касания. Тогда точки пересечения прямых AB и AB₁ с прямой l есть точки касания с этой прямой искомых окружностей. Центры искомых окружностей есть точки пересечения прямой AO с перпендикулярами к прямой l, проведёнными через найденные точки касания.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2473