Задача 54579

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся данной окружности и данной прямой в данной на ней точке.

Подсказка

Один из центров гомотетии двух касающихся окружностей — точка касания.

Решение

Любые две окружности гомотетичны. Если окружности касаются, то один из центров гомотетии этих окружностей есть точка касания.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём касательные к данной окружности, параллельные данной прямой l. Пусть B и B₁ точки касания. Соединим точки B и B₁ с данной точкой A. Прямые BA и B₁A вторично пересекают окружность в точках K и K₁ соответственно. Точки K и K₁ — искомые центры гомотетии, т.е. точки касания искомых окружностей с данной окружностью S.

Пусть O — центр данной окружности S. Тогда центры искомых окружностей — точки пересечения прямых KO и K₁O с перпендикуляром к данной прямой, проходящим через точку A (внешнее и внутреннее касание).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2474