Информация о задаче

Задача 54585

Темы:	[	Построение треугольников по различным элементам	]
Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведённым из одной вершины.

Подсказка

Проведите через основание данной биссектрисы прямую, параллельную одной из данных сторон треугольника.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть AM = l — данная биссектриса, AB = a, AC = b — данные стороны. Через точку M проведём прямую, параллельную стороне AB, до пересечения со стороной AC в точке K. Тогда

$\displaystyle \angle$ AMK = $\displaystyle \angle$ MAB = $\displaystyle \angle$ MAK.

Поэтому треугольник AMK — равнобедренный. По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{MC}{MB}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{MK}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{MC}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ MK = AB^. $\displaystyle {\frac{MC}{BC}}$ = a^. $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$ = $\displaystyle {\frac{ab}{a+b}}$ .

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим равнобедренный треугольник AMB по основанию AM = l и боковым сторонам AK = KM = ${\frac{ab}{a+b}}$ . (Отрезок ${\frac{ab}{a+b}}$ можно построить, например, так: через точку пересечения диагоналей любой трапеции с основаниями a и b проведём прямую, параллельную основаниям. Отрезок этой прямой, заключённый внутри трапеции, равен ${\frac{2ab}{a+b}}$ ).

Отложив на луче AK от точки A отрезок, равный b, получим искомую вершину C. Отложим от луча AM в полуплоскости, не содержащей точки K, луч под углом, равным углу MAC. Отложив на построенном луче от точки A отрезок, равный a, получим искомую вершину B.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1965
Номер	15
Задача
Название	Задача 8.4


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	1
Год	1935
вариант
Вариант	1
Тур	1
задача
Номер	2


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2480