Задача 54595

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Построения ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Даны три точки A, B, C. С помощью циркуля и линейки постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

Подсказка

Рассмотрите треугольник с вершинами в центрах искомых окружностей. Докажите, что A, B, C – точки касания сторон этого треугольника с вписанной окружностью.

Решение

  Опишем окружность S около треугольника ABC и проведём к ней касательные в точках A, B, C. Точки пересечения этих O₁, O₂, O₃ этих касательных, очевидно, есть центры искомых окружностей S₁, S₂, S₃.
  На рис. изображен случай, когда окружность S вписана в треугольник ABC. В этом случае S₁, S₂, S₃ касаются внешним образом.
  Но может случиться, что S – вневписанная окружность треугольника . Тогда две окружности касаются внешним образом, а каждая из них касается третьей внутренним образом.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2490