Задача 54610

Темы:    [ Построения ] [ Метод ГМТ ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки на стороне треугольника постройте точку, сумма расстояний от которой до двух других сторон равна данному отрезку.

Подсказка

"Распрямите" ломаную и примените метод геометрических мест точек.

Решение

Предположим, что на стороне BC треугольника ABC построена точка M, сумма расстояний от которой до прямых AB и AC равна данной величине, т.е. MP + MQ = a, где P и Q — проекции точки M на AB и AC.

На продолжении отрезка MQ за точку M отложим отрезок MP₁, равный MP. Тогда P₁Q = P₁M + MQ = a. Поэтому точка P₁ расположена на прямой, параллельной AC, и находящейся от неё на расстоянии, равном a.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Проводим прямую, параллельную прямой AC, на расстоянии, равном a (длина данного отрезка) от неё. Причём проведённая прямая и вершина B должны находиться по одну сторону от прямой AC. Биссектриса одного из углов, образованных проведённой прямой и прямой AB, пересекает сторону BC в искомой точке M.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2505