Задача 54624

Темы:    [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки впишите ромб в данный параллелограмм так, чтобы стороны ромба были параллельны диагоналям параллелограмма, а вершины ромба лежали бы на сторонах параллелограмма.

Подсказка

Примените гомотетию.

Решение

Первый способ.

Предположим, что задача решена. Пусть вершины M, N, K и L ромба MNKL расположены на сторонах соответственно AB, BC, CD и AD данного параллелограмма ABCD, причём LM || BD и MN || AC.

Пусть M₁ — произвольная точка отрезка AM. Рассмотрим гомотетию с центром A, переводящую точку M в точку M₁. При этой гомотетии ромб MNKL перейдёт в ромб M₁N₁K₁L₁, причём вершины L₁, K₁ и N₁ будут лежать на отрезках AD, AK и AN соответственно, а стороны полученного ромба будут параллельны диагоналям данного параллелограмма.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Через точку M₁ стороны AB проведём прямую, параллельную диагонали BD данного параллелограмма ABCD, до пересечения со стороной AD в точке L₁. Через точки M₁ и L₁ проведём прямые, параллельные диагонали AC, и отложим на них в полуплоскости, содержащей вершину C, отрезки L₁K₁ и M₁N₁, равные отрезку L₁M₁.

Продолжим отрезки AN₁ и AK₁ до пересечения со сторонами BC и DC в точках N и K соответственно. Через точки N и K прведём прямые, параллельные диагонали AC, до пересечения со сторонами AB и AD в точках M и L соответственно.

Докажем, что четырехугольник MNKL — ромб. Для этого достатачно доказать, что KN || BD, поскольку тогда четырёхугольник MNKL будет гомотетичен ромбу M₁N₁K₁L₁.

Обозначим через E и F точки пересечения прямых AK и AN с диагональю BD, а через Q и H — точки пересечения прямых AK и AN с прямой, проходящей через вершину C параллельно диагонали BD. Прямая AC проходит через середины сторон M₁L₁ и K₁N₁ ромба M₁L₁K₁N₁. Поэтому QC = HC и OE = OF, где O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Поскольку DO = OB, то DE = BF. Поэтому

= = = .

Следовательно, KN || BD.

Второй способ.

Предположим, что задача решена. Пусть вершины M, N, K, L ромба MNKL расположены на сторонах соответственно AB, BC, CD и AD данного параллелограмма ABCD.

Точка пересечения диагоналей ромба принадлежит средним линиям параллелограмма. Поэтому она совпадает с точкой O пересечения диагоналей параллелограмма.

Обозначим через X и Y точки пересечения отрезков ML и MN с диагоналями параллелограмма. Тогда MX = ML = MN = MY.

Поэтому MXOY — ромб, а его диагональ OM является биссектрисой угла AOB. Аналогично для отрезков OL, OK и ON.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим биссектрисы углов AOB и BOC. Их пересечения со сторонами данного параллелограмма — вершины данного ромба.

Действительно, диагонали полученного таким образом четырёхугольника взаимно перпендикулярны и делятся точкой их пересечения пополам. С другой стороны, по свойству биссектрисы треугольника

= = = .

Следовательно, MN || AC. Аналогично ML || BD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2519