Задача 54629

Темы:    [ Четырехугольники (построения) ] [ Метод ГМТ ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки восстановите выпуклый четырёхугольник по четырём точкам – проекциям точки пересечения его диагоналей на стороны.

Подсказка

Пусть M, N, K и L – данные точки, Q – точка пересечения диагоналей искомого четырёхугольника. Выразите углы LQN и MQK через углы четырёхугольника MNKL.

Решение

  Предположим, что нужный четырёхугольник ABCD построен. Пусть M, N, K, L – проекции точки Q пересечения диагоналей AC и BD на стороны AB, BC, CD, AD соответственно. Будем считать для определённости, что луч AB пересекается с лучом DC, а луч DA – с лучом CB. Обозначим углы при вершинах четырёхугольника MNKL через φ₁, φ₂, φ₃, φ₄ соответственно,  ∠BQN = α₁,  ∠AQL = α₂,  ∠BQM = α₃,  ∠CQK = α₅,  ∠DQK = α₆.
  Пользуясь тем, что четырёхугольники QMAL, QNBM, QKCN и QLDK вписанные, получим:
α₁ + α₂ = 180° – φ₁,  α₃ + α₄ = α₅ + α₆,  α₃ + α₅ = 180° – φ₂,  α₄ + α₆ = 180° – φ₄,  α₃ + α₄ + α₅ + α₆ = 360° – φ₂ – φ₄,  α₃ + α₄ = 180° – ½ (φ₂ + φ₄).
  Поэтому  ∠NQL = α₁ + α₂ + α₃ + α₄ = 180° – φ₁ + 180° – ½ (φ₂ + φ₄) = 360° – φ₁ – ½ (φ₂ + φ₄).
  Аналогично  ∠MQK = 360° – φ₂ – ½ (φ₁ + φ₃).
  Поэтому данные отрезки LN и MK видны из точки Q под известными углами. Следовательно, точка Q может быть найдена, как точка пересечения двух соответствующих геометрических мест точек (дуг окружностей, построенных на отрезках LN и MK как на хордах, и вмещающих найденные углы). Остается провести через данные точки M, N, K и L перпендикуляры к отрезкам QM, QN, QK и QL соответственно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2524