|
|
 |
Условие
Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении 1 : 2.
Подсказка
Рассмотрите образ одной из вершин треугольника при симметрии относительно указанной медианы (или примените теорему синусов).
Решение
Первый способ. Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть BC = a и AC = b – его данные стороны, CM – медиана, ∠ACM = α,
∠BCM = 2α. Если E – точка, симметричная вершине B относительно прямой CM, то CE = CB = a, ∠ECM = ∠BCM = 2α, ∠ECA = α. Поскольку
ME = MB = MA, то ∠AEB = 90°. Поэтому AE || EC, ∠EAC = ∠MCA = α. Следовательно, треугольник AEC равнобедренный, то есть AE = EC = a.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим равнобедренный
треугольник ACE по трём сторонам. Через вершину C проводим прямую,
параллельную AE. Образ точки E при симметрии относительно этой
прямой есть искомая вершина B.
Второй способ. Применив теорему синусов к треугольникам BCM и ACM, находим, что a sin 2α = b sin α. Поэтому cos α = b/2a. Следовательно, угол α можно построить.
Поскольку 0 < 3α < 180°, то 0 < α < 60°. Поэтому задача имеет решение (и притом единственное) при a < b.
Замечания
6 баллов
