Задача 54645

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Васильев Н.Б.

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC, если заданы его наименьший угол при вершине A и отрезки  d = AB – BC  и  e = AC – BC.

Подсказка

Примените гомотетию.

Решение

  Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Отложим на лучах CA и BA соответственно отрезки CB₁ и BC₁, равные отрезку BC. Тогда  AB₁ = AC – CB₁ = AC – CB = e,
AC₁ = AB – BC₁ = AB – BC = d.
  Поскольку треугольник AB₁C₁ можно построить (по двум сторонам и углу между ними), задача сводится к построению на продолжениях сторон AC₁ и AB₁ соответственно таких точек B и C, что  B₁C = C₁B = BC  (рис. слева).
  На продолжении отрезка AB₁ за точку B₁ отложим произвольный отрезок B₁B₂ (рис. справа); через точку B₁ проведём прямую, параллельную стороне AC₁, и отложим на ней отрезок
B₁K = B₁B₂  так, чтобы точки K и C₁ лежали по одну сторону от прямой AB₁. Через точку K проведём прямую, параллельную B₁C₁, до пересечения с лучом AC₁ в точке L. С центром в точке B₂ проведём окружность радиуса B₂B₁. Пусть N – точка пересечения этой окружности с лучом KL. Если прямая, проходящая через точку N параллельно B₁K, пересекает луч B₁C₁ в точке M, то
MN = B₁K = B₁B₂.
  При гомотетии с центром в точке B₁ и коэффициентом  ^B₁C₁/_B1M  точки N и B₂ перейдут в искомые вершины B и C соответственно (B – точка пересечения луча B₁N с лучом AC₁).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2542