Информация о задаче

Задача 54673

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Одна из двух прямых, проходящих через точку M, касается окружности в точке C, а вторая пересекает эту окружность в точках A и B, причём A — середина отрезка BM. Известно, что MC = 2 и $\angle$ BMC = 45^o. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Докажите, что треугольник BMC прямоугольный.

Решение

Обозначим AM = AB = x. По теореме о касательной и секущей BM^.AM = MC², или 2x² = 4, откуда x = $\sqrt{2}$ .

В треугольнике BMC известны стороны MC = 2, BM = 2x = 2 $\sqrt{2}$ и угол между ними: $\angle$ BMC = 45^o. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетом, равным 2, и острым углом, равным 45^o. Его гипотенуза равна 2 $\sqrt{2}$ , значит, этот треугольник равен треугольнику BMC по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, треугольник BMC прямоугольный, $\angle$ BCM = 90^o. Тогда BC — диаметр окружности и BC = MC = 2.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2619