|
|
 |
Условие
Прямые, касающиеся окружности в точках A и B, пересекаются в
точке M, а прямые, касающиеся той же окружности в точках C и D,
пересекаются в точке N, причём
NC MA и
ND
MB. Докажите, что
AB
CD или
AB || CD.
Подсказка
Рассмотрите поворот относительно центра окружности, при котором точка A переходит в точку C.
Решение
Пусть точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB.
Рассмотрим поворот относительно центра окружности, при котором
точка A переходит в точку C. Поскольку
NC MA и
ND
MB, то
прямая AM при этом повороте переходит в прямую CN, а прямая MB — в
прямую ND, а т.к. точка B переходит в точку, лежащую и на окружности, и на
прямой ND, то точка B переходит в точку D. Значит, при этом
повороте отрезок AB переходит в отрезок CD. Следовательно,
AB
CD.
Если точки C и D лежат по одну сторону от прямой AB, то аналогично докажем, что AB || CD.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2620 |
