|
|
 |
Условие
Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 120°. Окружность с центром на третьей стороне треугольника касается двух других сторон. Вторая окружность касается этих сторон и первой окружности. Найдите радиусы окружностей.
Подсказка
Для нахождения радиуса первой окружности выразите двумя способами площадь треугольника ABC.
Решение
Пусть окружность радиуса R с центром O на стороне BC треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках M и N соответственно, причём AB = 1, AC = 2 и ∠A = 120°. Обозначим S = SABC. Тогда 2S = AB·AC sin 120° = и 2S = AB·R + AC·R = 3R. Отсюда R =
.
Пусть Q – центр второй окружности радиуса r. Точки O и Q лежат на биссектрисе угла A. Опустим перпендикуляр QF на радиус ON. Из прямоугольного треугольника OQF получаем
R – r = (R + r) sin 60°, откуда
Ответ
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2623 |
