Задача 54692

Тема:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Пересекающиеся хорды окружности делятся точкой пересечения в одном и том же отношении. Докажите, что эти хорды равны между собой.

Подсказка

Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.

Решение

Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке M, причём = . По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд AM ^. BM = CM ^. DM. Перемножив почленно эти равенства, получим, что AM² = CM². Значит, AM = CM. Аналогично докажем, что BM = DM. Следовательно,

AB = AM + BM = CM + DM = CD.

Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке M, причём = . По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд AM ^. BM = CM ^. DM. Перемножив почленно эти равенства, получим, что AM² = CM². Значит, AM = CM. Аналогично докажем, что BM = DM. Следовательно,

AB = AM + BM = CM + DM = CD.

Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке M, причём = . По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд AM ^. BM = CM ^. DM. Перемножив почленно эти равенства, получим, что AM² = CM². Значит, AM = CM. Аналогично докажем, что BM = DM. Следовательно,

AB = AM + BM = CM + DM = CD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2638