Задача 54702

Темы:    [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На продолжении боковой стороны AB равнобедренного треугольника ABC за вершину A взята точка D, причём AD = 2AB. Известно, что BAC = 120^o. Докажите, что треугольник BDC — равнобедренный.

Подсказка

Докажите, что треугольник ADC прямоугольный или вычислите BC и CD с помощью теоремы косинусов.

Решение

Обозначим AB = AC = a. Тогда BC = a. В треугольнике ADC угол между сторонами AD = 2a и AC = a равен 60^o. Значит, ACD = 90^o. Тогда

ADC = 30^o = ABC.

Следовательно, DC = BC.

Обозначим AB = AC = a. Тогда BC = a. В треугольнике ADC угол между сторонами AD = 2a и AC = a равен 60^o. Значит, ACD = 90^o. Тогда

ADC = 30^o = ABC.

Следовательно, DC = BC.

Обозначим AB = AC = a. Тогда BC = a. В треугольнике ADC угол между сторонами AD = 2a и AC = a равен 60^o. Значит, ACD = 90^o. Тогда

ADC = 30^o = ABC.

Следовательно, DC = BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2648