Информация о задаче

Задача 54708

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Медианы треугольника ABC, проведённые из вершин B и C, равны 6 и 9 и пересекаются в точке M. Известно, что $\angle$ BMC = 120^o. Найдите стороны треугольника.

Подсказка

Пусть BD и CE — медианы треугольника ABC. Тогда BM = ${\frac{2}{3}}$ BD, CM = ${\frac{2}{3}}$ CE.

Решение

Пусть BD и CE — медианы треугольника ABC. Тогда

BM = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ BD = 4, CM = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ CE = 6.

По теореме косинусов из треугольников MBC, BME и CMD находим, что

BC² = BM² + CM² - 2BM^.CM cos $\displaystyle \angle$ 120^o = 16 + 36 + 24 = 76,

BE² = BM² + EM² - 2BM^.EM cos $\displaystyle \angle$ 60^o = 16 + 9 - 12 = 13,

DC² = DM² + CM² - 2DM^.CM cos $\displaystyle \angle$ 60^o = 4 + 36 - 12 = 28.

Следовательно,

BC = $\displaystyle \sqrt{76}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{19}$ , AB = 2BE = 2 $\displaystyle \sqrt{13}$ , AC = 2CD = 2 $\displaystyle \sqrt{28}$ = 4 $\displaystyle \sqrt{7}$ .

Ответ

4 $\sqrt{7}$ ; 2 $\sqrt{13}$ ; 2 $\sqrt{19}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2654