Информация о задаче

Задача 54712

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагонали выпуклого четырёхугольника равны c и d и пересекаются под углом 45^o. Найдите отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника.

Решение

Пусть диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD равны c и d соответственно, пересекаются в точке O и $\angle$ AOB = 45^o. Если K, P, M и N — середины сторон соответственно AB, CD, BC и AD, то KM и KN — средние линии треугольников ABC и BAD, поэтому

KM || AC, KM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ c,

KN || BD, KN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ d,

$\displaystyle \angle$ MKN = $\displaystyle \angle$ AOB = 45^o, $\displaystyle \angle$ KMP = 180^o - $\displaystyle \angle$ MKN = 135^o.

Из треугольников KMN и KPM по теореме косинусов находим, что

MN² = KM² + KN² - 2KM^.KN cos 45^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ c² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ d² - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ cd $\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (c² + d² - cd $\displaystyle \sqrt{2}$ ),

KP² = MK² + MP² - 2MK^.MP cos 135^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ c² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ d² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ cd $\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (c² + d² + cd $\displaystyle \sqrt{2}$ ).

Следовательно,

MN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{c^{2} + d^{2} - cd\sqrt{2}}$ , KP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{c^{2} + d^{2} + cd\sqrt{2}}$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ $\sqrt{c^{2} + d^{2} \pm cd\sqrt{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2658