Информация о задаче

Задача 54713

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удалён от вершин острых углов на расстояния a и b. Найдите гипотенузу.

Подсказка

Если биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке O, то $\angle$ AOB = 90^o + ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ C.

Решение

Пусть O — центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C, причём OA = a, OB = b. Поскольку OA и OB — биссектрисы углов при вершинах A и B, то

$\displaystyle \angle$ AOB = 90^o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ C = 90^o + 45^o = 135^o.

По теореме косинусов из треугольника AOB находим, что

BC² = OA² + OB² - 2OA^.OB cos 135^o = a² + b² + ab $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Ответ

$\sqrt{a^{2} + b^{2} + ab\sqrt{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2659