Информация о задаче

Задача 54722

Тема:

[

Теорема синусов

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом, равным 30^o, если известно, что биссектриса, проведённая из вершины прямого угла, равна a.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой синусов.

Решение

Пусть CD — биссектриса прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины C прямого угла, $\angle$ A = 30^o, CD = a. Из треугольника CBD по теореме синусов находим, что

$\displaystyle {\frac{BD}{\sin \angle BCD}}$ = $\displaystyle {\frac{CD}{\sin \angle B}}$ ,

откуда

BD = $\displaystyle {\frac{CD\sin \angle BCD}{\sin \angle B}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$ .

Аналогично из треугольника CAD находим, что AD = a $\sqrt{2}$ . Следовательно,

AB = BD + AD = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$ + a $\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle {\frac{a(\sqrt{6} + 3\sqrt{2})}{3}}$ .

Ответ

${\frac{a(\sqrt{6} + 3\sqrt{2})}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2668