Информация о задаче

Задача 54724

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна a, средняя линия равна b, а один углов при большем основании равен 30^o. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Подсказка

Проекция диагонали равнобедренной трапеции на большее основание равна средней линии трапеции.

Решение

Пусть F — проекция вершины C меньшего основания BC равнобедренной трапеции ABCD на большее основание AD. Тогда отрезок AF равен средней линии трапеции, а т.к. в прямоугольном треугольнике CFD угол D равен 30^o, то CF = ${\frac{1}{2}}$ CD. Из прямоугольного треугольника ACF находим, что

AC = $\displaystyle \sqrt{AF^{2} + CF^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{b^{2} + \frac{a^{2}}{4}}$ .

Если R — радиус окружности, описанной около треугольника ACD, то

R = $\displaystyle {\frac{AC}{2 \sin \angle D}}$ = $\displaystyle \sqrt{b^{2} + \frac{a^{2}}{4}}$ .

Осталось заметить, что окружность, описанная около треугольника ACD, совпадает с окружностью, описанной около трапеции ABCD.

Ответ

$\sqrt{b^{2} + \frac{a^{2}}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2670