Информация о задаче

Задача 54730

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает эти окружности в точках C и D, причём точка A лежит между C и D, а хорды AC и AD пропорциональны радиусам своих окружностей. Докажите, что биссектрисы углов ADB и ACB пересекаются на отрезке AB.

Подсказка

Докажите, что BA — биссектриса треугольника BCD.

Решение

Пусть точка C лежит на окружности радиуса r, а точка D — на окружности радиуса R. Тогда

BC = 2r sin $\displaystyle \angle$ BAC,

BD = 2R sin $\displaystyle \angle$ BAD = 2R sin(180^o - $\displaystyle \angle$ BAC) = 2R sin $\displaystyle \angle$ BAC.

Поэтому

$\displaystyle {\frac{BC}{BD}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{AD}}$ .

Значит, BA — биссектриса треугольника BCD, а т.к. биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то биссектрисы углов C и D пересекаются на отрезке AB.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2676