Информация о задаче

Задача 54782

Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное (среднее геометрическое) проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на неё.

Подсказка

Рассмотрите подобные треугольники или воспользуйтесь тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Решение

Первый способ.

Пусть CH — высота прямоугольного треугольника ABC, опущенная на гипотенузу AB. Углы CAB и BCH равны, т.к. каждый из них в сумме с углом ACH составляет 90^o, поэтому треугольники ABC и AHC подобны по двум углам. Значит,

$\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{AH}{AC}}$ ,

откуда AC² = AH^.AB. Аналогично докажем, что BC² = BH^.AB.

Треугольники CHB и AHC также подобны по двум углам. Поэтому

$\displaystyle {\frac{BH}{CH}}$ = $\displaystyle {\frac{CH}{AH}}$ ,

откуда CH² = AH^.BH.

Второй способ.

Пусть CH — высота прямоугольного треугольника ABC, опущенная на гипотенузу AB. Тогда в прямоугольных треугольниках ABC и AHC

cos $\displaystyle \angle$ A = $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ , cos $\displaystyle \angle$ A = $\displaystyle {\frac{AH}{AC}}$ ,

а т.к. косинус острого угла прямоугольного треугольника зависит только от градусной меры угла, то

$\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{AH}{AC}}$ ,

откуда AC² = AH^.AB. Аналогично докажем, что BC² = BH^.AB.

Углы CAB и BCH равны, т.к. каждый из них в сумме с углом ACH составляет 90^o. В прямоугольных треугольниках ACH и CHB

tg $\displaystyle \angle$ CAB = $\displaystyle {\frac{CH}{AH}}$ , tg $\displaystyle \angle$ BCH = $\displaystyle {\frac{BH}{CH}}$ ,

а т.к. $\angle$ CAB = $\angle$ BCH и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависит только от градусной меры угла, то

$\displaystyle {\frac{CH}{AH}}$ = $\displaystyle {\frac{BH}{CH}}$ ,

откуда CH² = AH^.BH.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2728