Информация о задаче

Задача 54796

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности с центрами A и B и радиусами соответственно 2 и 1 касаются друг друга. Точка C лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей, и находится на расстоянии ${\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}$ от середины отрезка AB. Найдите площадь S треугольника ABC, если известно, что S > 2.

Подсказка

Рассмотрите следующие случаи.

1) Окружности касаются внутренним образом.

2) Окружности касаются внешним образом в точке K, а точка C лежит на их общей касательной, проходящей через точку K.

3) Окружности касаются внешним образом в точке K, а точка C лежит на их общей касательной, не проходящей через точку K. При этом возможны два случая расположения точки C относительно середины отрезка общей внешней касательной, заключённого между точками касания.

Решение

Пусть M — середина отрезка AB. Предположим, что окружности касаются внутренним образом в точке K. Тогда CK — высота треугольника ABC. Поэтому

CK = $\displaystyle \sqrt{CM^{2} - KM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{27}{8} - \frac{9}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{4}}$ ,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.CK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{8}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{2}$ < 2.

Значит, окружности не могут касаться внутренним образом.

Пусть окружности касаются внешним образом в точке K, а точка C лежит на их общей касательной, проходящей через точку K. Тогда CK — высота треугольника ABC, поэтому

CK = $\displaystyle \sqrt{CM^{2} - KM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{27}{8} - \frac{1}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{2}}{4}}$ ,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.CK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.3^. $\displaystyle {\frac{5\sqrt{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{15\sqrt{2}}{8}}$ > 2.

Пусть окружности касаются внешним образом в точке K, а точка C лежит на прямой, касающейся окружностей с центрами A и B в различных точках P и Q соответственно. Тогда

PQ = $\displaystyle \sqrt{(AP + BQ)^{2} - (AP - BQ)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9 - 1}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Если $\alpha$ — угол между прямыми AB и PQ, то

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ , cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{2}}{3}}$ .

Если F — проекция точки M на эту прямую, то MF — средняя линия прямоугольной трапеции APQB с основаниями AP = 2 и BQ = 1, поэтому

MF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AP + BQ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ , CF = $\displaystyle \sqrt{CM^{2} - MF^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{27}{8} - \frac{9}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{4}}$ .

Если точка C лежит между F и Q, то

CQ = QF - CF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ PQ - CF = $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{4}}$ .

Если точка C лежит между F и P, то

CQ = QF + CF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ PQ + CF = $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{7\sqrt{2}}{4}}$ .

Через точку Q проведём прямую, параллельную AB. Пусть N — точка пересечения этой прямой с высотой CD треугольника ABC. Тогда

CD = CN + DN = CQ sin $\displaystyle \alpha$ + BQ cos $\displaystyle \alpha$ .

Если точка C лежит между F и Q, то

CD = CQ sin $\displaystyle \alpha$ + BQ cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{12}}$ + $\displaystyle {\frac{2\sqrt{2}}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{4}}$ ,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.CD = $\displaystyle {\frac{9\sqrt{2}}{8}}$ < 2.

Если точка C лежит между F и P, то

CD = CQ sin $\displaystyle \alpha$ + BQ cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{7\sqrt{2}}{12}}$ + $\displaystyle {\frac{2\sqrt{2}}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{2}}{4}}$ ,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.CD = $\displaystyle {\frac{15\sqrt{2}}{8}}$ > 2.

Ответ

${\frac{15\sqrt{2}}{8}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2742