Задача 54804

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В квадрат, площадь которого равна 18, вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника. Стороны прямоугольника относятся как  1 : 2.
Найдите площадь прямоугольника.

Решение

  Пусть вершины K, L, M и N прямоугольника KLMN расположены соответственно на сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD, причём  KN = 2KL.  Обозначим  KL = x,  ∠AKN = α.  Тогда
MN = x, LM = KN = 2x,  ∠CML = ∠BLK = ∠AKN = α,  AK = 2x cos α,  BK = x sin α,  BL = x cos α,  CL = LM sin α = 2x sin α.
  Поскольку  AB = AK + BK  и  BC = BL + CL,  то  2x cos α + x sin α = x cos α + 2x sin α,  откуда   sin α = cos α,  а так как  α < 90°,  то α = 45°.
  Поскольку  2x cos 45° + x sin 45° = AB = = 3,  то  x = 2,  а  S_KLMN = 2x² = 8.

Ответ

8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2750