Задача 54827

Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD даны основания  AD = 4,  BC = 1  и углы A и D при основании, равные соответственно  arctg 2  и  arctg 3.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник CBE, где E – точка пересечения диагоналей трапеции.

Подсказка

Радиус вписанной окружности треугольника равен его площади, делённой на полупериметр.

Решение

  Опустим перпендикуляры BM и CN на основание AD трапеции ABCD. Обозначим  AM = x.  Тогда  DN = AD – MN – AM = 3 – x.
  По условию  BM = AM tg∠A = 2x,  CN = DN tg∠D = 3(3 – x),  а так как  BM = CN,  то  2x = 3(3 – x),  откуда  x = ⁹/₅.  Значит,  AN = AM + MN = ¹⁴/₅,
DM = ¹¹/₅.
  По теореме Пифагора  AC² = AC² = AN² + CN² = (2,8)² + (3,6)² = 0,16·130 = ¹⁰⁴/₅,  BC² = DM² + BM² = (2,2)² + (3,6)² = ⁸⁹/₅.
  Пусть EK – высота треугольника BEC. Поскольку треугольник BEC подобен треугольнику DEA с коэффициентом   ^BC/_AD = ¼,  то EK = ¹/₅ BM = ¹⁸/₂₅,
  2S_BEC = BC·EK = ¹⁸/₂₅.
  Радиус r вписанной окружности треугольника равен его удвоенной площади, делённой на периметр, следовательно,  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2773