Задача 54845

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На боковой стороне AB трапеции ABCD взята такая точка M, что AM : BM = 2 : 3. На противоположной стороне CD взята такая точка N, что отрезок MN делит трапецию на части, одна из которых по площади втрое больше другой. Найдите отношение CN : DN, если BC : AD = 1 : 2.

Подсказка

Продолжите боковые стороны трапеции до пересечения в точке P и воспользуйтесь равенством

S_MPN = ^{. .} S_APD.

Рассмотрите два случая.

Решение

Пусть продолжения боковых сторон AB и CD трапеции пересекаются в точке P. Тогда BC — средняя линия треугольника APD. Поэтому

= = .

Обозначим через S площадь трапеции ABCD. Тогда площадь треугольника BPC равна S.

Предположим, что площадь четырёхугольника AMND в три раза меньше площади четырёхугольника MBCN. Тогда

S_APD = S, S_MBCN = S, S_MPN = S + S = S,

а т.к.

S_MPN = ^. S_APD,

то

S = ^{. .} S,

откуда находим, что = > 1, т.е. PN > PD, что невозможно, т.к. точка N должна принадлежать отрезку CD.

Пусть теперь площадь четырёхугольника MBCN в три раза меньше площади четырёхугольника AMND. Тогда

S_APD = S, S_MBCN = S, S_MPN = S + S = S,

а т.к.

S_MPN = ^. S_APD,

то

S = ^{. .} S,

откуда находим, что = . Следовательно,

= ,  = = .

Ответ

3:29.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2791