Информация о задаче

Задача 54859

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Площадь трапеции	]
	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если её средняя линия равна 5.

Подсказка

Пусть CH — перпендикуляр, опущенный из вершины C меньшего основания BC данной трапеции ABCD, на большее основание AD. Тогда

AH = $\displaystyle {\frac{AD + BC}{2}}$ .

Решение

Первый способ.

AH = $\displaystyle {\frac{AD + BC}{2}}$ = 5,

а т.к. $\angle$ CAD = $\angle$ BDA = 45^o, то CH = AH = 5. Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\frac{AD + BC}{2}}$ ^.CH = AH^.CH = 25.

Второй способ.

Через вершину C меньшего основания BC данной трапеции ABCD проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AD в точке K. Тогда

DK = BC, $\displaystyle \angle$ ACK = 90^o, CK = BD = AC, $\displaystyle \angle$ CKA = $\displaystyle \angle$ CAK = 45^o,

AK = AD + DK = AD + BC.

Пусть h — высота трапеции. Тогда

h = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AK, S_ABCD = $\displaystyle {\frac{AD + BC}{2}}$ ^.h = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AK^.h = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ AK² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ^.100 = 25.

Ответ

25.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2805