Информация о задаче

Задача 54864

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60^o, а их длины относятся как 1 : 3. Чему равна меньшая диагональ четырёхугольника ABCD, если большая равна $\sqrt{39}$ ?

Подсказка

Решение

Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника и соответственно равны их половинам. Обозначим через x и 3x половины диагоналей параллелограмма. Поскольку угол между ними равен 60^o, то по теореме косинусов квадраты сторон параллелограмма равны

x² + 9x² - 3x² = 7x², x² + 9x² + 3x² = 13x²,

а т.к. большая диагональ четырёхугольника равна $\sqrt{39}$ , то большая сторона параллелограмма равна ${\frac{\sqrt{39}}{2}}$ , т.е. 13x² = ${\frac{39}{4}}$ , откуда x = ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ . Тогда меньшая сторона параллелограмма равна x $\sqrt{7}$ = ${\frac{\sqrt{21}}{2}}$ . Следовательно, меньшая диагональ данного четырёхугольника равна $\sqrt{21}$ .

Ответ

$\sqrt{21}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2810