Задача 54866

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две окружности, радиусы которых относятся как 9 - 4 , касаются друг друга внутренним образом. Проведены две хорды большей окружности, равные по длине и касающиеся меньшей окружности. Одна из этих хорд перпендикулярна отрезку, соединяющему центры окружностей, а другая нет. Найдите угол между этими хордами.

Решение

Пусть окружности радиусов R > r с центрами O1 и O2 соответственно касаются внутренним образом в точке K , хорда AB большей окружности перпендикулярна O1O2 и касается меньшей окружности в точке P , а равная ей хорда CD большей окружности касается меньшей окружности в точке Q и пересекается с хордой AB в точке F . Опустим перпендикуляр O1M на CD и рассмотрим прямоугольную трапецию O1O2QM .
Поскольку равные хорды окружности равноудалены от её центра, то

O1M = O1P = O1K - PK = R - 2r.
Опустим перпендикуляр O1H на O2Q . Тогда
O2H = O2Q - HQ = O2Q - O1M = r - (R - 2r) = 3r - R,
значит,
cos O1O2H = = = =

= = = · = .
Следовательно,
QFB = O1O2H = 30^o.
Заметим, что
< 2 3 < 2 6 < 4 9 - 4 < 3,
поэтому = 9 - 4 < 3 . Это означает, что точка H действительно лежит на отрезке O2Q .

Ответ

30^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2812