Информация о задаче

Задача 54870

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC со сторонами BC = 7, AC = 5, AB = 3 проведена биссектриса AD. Вокруг треугольника ABD описана окружность, а в треугольник ACD вписана окружность. Найдите произведение их радиусов.

Подсказка

$\angle$ BAC = 120^o.

Решение

По свойству биссектрисы треугольника ${\frac{BD}{CD}}$ = ${\frac{AB}{AC}}$ = ${\frac{3}{5}}$ , откуда находим, что BD = ${\frac{21}{8}}$ , CD = ${\frac{35}{8}}$ .

По теореме косинусов

cos $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle {\frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2AB\cdot AC}}$ = $\displaystyle {\frac{9 + 25 - 49}{30}}$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ,

поэтому

$\displaystyle \angle$ BAC = 120^o, $\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAC = 60^o.

Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника ABD. Тогда

R = $\displaystyle {\frac{BD}{2\sin \angle BAD}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{21}{8}}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{7\sqrt{3}}{8}}$ .

Обозначим AD = x. Тогда

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.AC sin 120^o = $\displaystyle {\frac{15\sqrt{3}}{4}}$ ,

S_ABD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.x sin 60^o = $\displaystyle {\frac{3x\sqrt{3}}{4}}$ ,

S_ACD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.x sin 60^o = $\displaystyle {\frac{5x\sqrt{3}}{4}}$ ,

а т.к. S_ABD + S_ACD = S_ABC, имеем уравнение 8x = 15, откуда находим, что x = ${\frac{15}{8}}$ .

Пусть окружность радиуса r с центром O, вписанная в треугольник ADC, касается стороны AC в точке P. Если p — полупериметр треугольника ADC, то

p = $\displaystyle {\frac{5 + \frac{15}{8} + \frac{35}{8}}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{45}{8}}$ , AP = p - CD = $\displaystyle {\textstyle\frac{45}{8}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{35}{8}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{4}}$ .

Из прямоугольного треугольника AOP находим, что

r = OP = APtg $\displaystyle \angle$ OAP = APtg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{4}}$ ^.tg30^o = $\displaystyle {\frac{5}{4\sqrt{3}}}$ .

Следовательно,

Rr = $\displaystyle {\frac{\frac{7\sqrt{3}}{8}\cdot 5}{4\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{35}{32}}$ .

Ответ

${\frac{35}{32}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2816