Информация о задаче

Задача 54889

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиусов r и R с центрами в точках O₁ и O внешне касаются в точке K. В точке A окружности радиуса R проведена касательная, пересекающая окружность радиуса r в точках B и C. Известно, что BC : AB = p и отрезок AC пересекает отрезок O₁K. Определите:

а) при каких условиях на r, R и p возможна такая геометрическая конфигурация;

б) длину отрезка BC.

Подсказка

Обозначьте AB = x, BC = px. Из точки O₁ опустите перпендикуляр O₁F на прямую OA и примените теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику O₁FO.

Решение

Обозначим AB = x. Тогда BC = px. Пусть прямая AC пересекает отрезок O₁K в точке N, а M — середина хорды BC. Тогда O₁M $\perp$ BC и

O₁M = $\displaystyle \sqrt{O_{1}C^{2} - CM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{r^{2} - \frac{p^{2}x^{2}}{4}}$ .

Из точки O₁ опустим перпендикуляр O₁F на прямую OA. Тогда

OF = OA + AF = OA + O₁M = R + $\displaystyle \sqrt{r^{2} - \frac{p^{2}x^{2}}{4}}$ ,

O₁F = AM = AB + BM = x + $\displaystyle {\frac{px}{2}}$ ,

а т.к. O₁O² = O₁F² + OF², имеем уравнение

(r + R)² = $\displaystyle \left(\vphantom{x + \frac{px}{2}}\right.$ x + $\displaystyle {\frac{px}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{x + \frac{px}{2}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{R + \sqrt{r^{2} - \frac{p^{2}x^{2}}{4}}}\right.$ R + $\displaystyle \sqrt{r^{2} - \frac{p^{2}x^{2}}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{R + \sqrt{r^{2} - \frac{p^{2}x^{2}}{4}}}\right)^{2}_{}$ .

После раскрытия скобок и приведения подобных получим уравнение

R $\displaystyle \sqrt{4r^{2} - p^{2}x^{2}}$ = 2rR - x²(p + 1),

4r²R² - p²x²R² = 4r²R² - 4rRx²(p + 1) + x⁴(p + 1)²,

x²(p + 1)² = 4rR(p + 1) - p²R²,

откуда

x = $\displaystyle {\frac{\sqrt{4(p+1)Rr - p^{2}R^{2}}}{p + 1}}$ .

Следовательно,

BC = px = $\displaystyle {\frac{p}{p+1}}$ $\displaystyle \sqrt{4(p+1)Rr - p^{2}R^{2}}$ .

Поскольку 4(p + 1)Rr - p²R² > 0, имеем неравенство

$\displaystyle {\frac{r}{R}}$ > $\displaystyle {\frac{p^{2}}{4(p+1)}}$ .

Рассмотрим случай, когда прямая AC проходит через точку O₁. Тогда

O₁A = $\displaystyle \sqrt{(R + r)^{2} - R^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{2rR + r^{2}}$ ,

AB = AO₁ - O₁B = $\displaystyle \sqrt{2rR + r^{2}}$ - r, BC = 2r,

значит, в этом случае

$\displaystyle {\frac{BC}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{2r}{\sqrt{2rR + r^{2}} - r}}$ .

Для того, чтобы точка пересечения прямых AC и O₁O лежала на отрезке O₁K, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

p > $\displaystyle {\frac{2r}{\sqrt{2rR + r^{2}} - r}}$ .

Тогда

$\displaystyle \sqrt{2rR + r^{2}}$ > r + $\displaystyle {\frac{2r}{p}}$ , $\displaystyle \sqrt{\frac{2R}{r} + 1}$ > 1 + $\displaystyle {\frac{2}{p}}$ ,

откуда

$\displaystyle {\frac{R}{r}}$ > $\displaystyle {\frac{2(p + 1)}{p^{2}}}$ , $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ < $\displaystyle {\frac{p^{2}}{2(p + 1)}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{p^{2}}{4(p+1)}}$ < $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ < $\displaystyle {\frac{p^{2}}{2(p + 1)}}$ .

Ответ

а) ${\frac{p^{2}}{4(p+1)}}$ < ${\frac{r}{R}}$ < ${\frac{p^{2}}{2(p+1)}}$ ;

б)BC = $\displaystyle {\frac{p}{p+1}}$ $\displaystyle \sqrt{4(p+1)Rr - p^{2}R^{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2835