|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC BC = 4, ∠C = 30°, радиус описанной окружности равен 6.
Найдите среднюю линию, параллельную стороне AC, и расстояние между точками, в которых прямая, содержащая эту среднюю линию, пересекает описанную окружность.
Подсказка
С помощью теоремы косинусов составьте уравнение относительно стороны AC. Опустите перпендикуляры из центра окружности на сторону BC и на прямую, содержащую указанную среднюю линию.
Решение
Пусть R – радиус, O – центр описанной окружности, AC = b. Тогда AB = 2R sin∠C = 6. По теореме косинусов AB² = AC² + BC² – 2AC·BC cos 30°, или 36 = b² + 16 - 4b,
b² – 4b – 20 = 0, откуда b = 2
+ 4
.
Пусть M и N – середины сторон AB и BC соответственно. Тогда MN = b/2 = + 2
. По теореме Пифагора OM² = R² – (BC/2)² = 32.
Пусть прямая MN пересекает описанную окружность треугольника
ABC в точках P и Q. Опустим перпендикуляр OK на PQ. Тогда OK ⊥ AC, OM ⊥ BC, значит, ∠KOM = ∠C = 30°,
поэтому OK = OM cos 30° = 2.
По теореме Пифагора PK² = OP² – OK² = R² – OK² = 12,
PQ = 2PK = 4.
Ответ
+ 2
, 4
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2839 |
