Задача 54897

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Через центр O вписанной окружности ω треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC и пересекающая стороны AB и AC соответственно в точках M и N.
S_ABC = ,  BC = 2,  а отрезок AO в четыре раза больше радиуса ω. Найдите периметр треугольника AMN.

Решение

  Пусть r – радиус ω, p – полупериметр треугольника ABC, P – точка касания ω со стороной AB. Тогда  AP² = AO² – OP² = 15r²,   AP = p = BC + AP = r + 2,
= S_ABC = pr = (r + 2)r,  откуда AP = r = 3,  p = 5.
  Периметр треугольника AMN равен  AB + AC  (см решение задачи 54896), то есть  2p – BC = 8.

Ответ

8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2843