Задача 54901

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике PQR сторона PQ не больше чем 9, сторона PR не больше чем 12. Площадь треугольника не меньше чем 54.
Найдите его медиану, проведённую из вершины P.

Решение

  Пусть S – площадь треугольника PQR, PM – его медиана, α – угол при вершине P. Тогда  54 ≤ S = ½ PQ·PR sin α ≤ ½ 9·12 sin α = 54 sin α ≤ 54.
  Это возможно лишь в случае, когда  S = 54,  PQ = 9,  PR = 12,  α = 90°.  При этом треугольник PQR прямоугольный, поэтому
QR² = PQ² + PR² = 81 + 144 = 15².
  Следовательно,  PM = ½ QR = 7,5.

Ответ

7,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5201