Информация о задаче

Задача 54903

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, а точка O -- на отрезке AD. Известно, что точки C, D и O лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC, 4AC = 3 $\sqrt{2}$ AB, угол DAC в два раза больше угла BAD, а угол OCA в два раза меньше угла OCB. Найдите косинус угла ABC.

Подсказка

Обозначьте $\angle$ ACO = $\alpha$ , $\angle$ DCO = 2 $\alpha$ , $\angle$ BAD = $\beta$ , $\angle$ CAD = 2 $\beta$ . Выразите $\beta$ через $\alpha$ и примените теорему синусов к треугольнику ABC.

Решение

Положим

$\displaystyle \angle$ ACO = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ DCO = 2 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ CAD = 2 $\displaystyle \beta$ .

Пусть CE — диаметр окружности, проходящей через точки C, D и O. Тогда

$\displaystyle \angle$ ODE = $\displaystyle \angle$ OCE = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ CDE = 90^o, $\displaystyle \angle$ DEC = 90^o - 3 $\displaystyle \alpha$ ,

а т.к. DEC — внешний угол треугольника ADE, то

$\displaystyle \angle$ DEC = $\displaystyle \angle$ DAE + $\displaystyle \angle$ ADE = $\displaystyle \angle$ DAE + $\displaystyle \angle$ OCE, или 90^o - 3 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \alpha$ + 2 $\displaystyle \beta$ ,

откуда $\beta$ = 45^o - 2 $\alpha$ . Поэтому

$\displaystyle \angle$ ABC = 180^o - $\displaystyle \angle$ ACB - $\displaystyle \angle$ BAC = 180^o - 3 $\displaystyle \alpha$ - 3 $\displaystyle \beta$ =

= 180^o - 3 $\displaystyle \alpha$ - 135^o + 6 $\displaystyle \alpha$ = 45^o + 3 $\displaystyle \alpha$ .

По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{\sin \angle ABC}{\sin \angle ACB}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ , или $\displaystyle {\frac{\sin (45^{\circ} + 3\alpha)}{\sin 3\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{4}}$ .

После очевидных преобразований получим, что

3 $\displaystyle \sqrt{2}$ sin 3 $\displaystyle \alpha$ = 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ (sin 3 $\displaystyle \alpha$ + cos 3 $\displaystyle \alpha$ ), sin 3 $\displaystyle \alpha$ = 2 cos 3 $\displaystyle \alpha$ , tg3 $\displaystyle \alpha$ = 2,

откуда находим, что

cos²3 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{1}{1 + {\rm tg }^{2} 3\alpha}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$ ,

а т.к. tg3 $\alpha$ = 2, то 3 $\alpha$ < 90^o, поэтому

cos 3 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{5}}}$ , sin 3 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{5}}}$ .

Следовательно,

cos $\displaystyle \angle$ ABC = cos(45^o + 3 $\displaystyle \alpha$ ) = cos 45^ocos 3 $\displaystyle \alpha$ - sin 45^osin 3 $\displaystyle \alpha$ =

= $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{5}}}$ - $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{5}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}}}\right)$ = - $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$ .

Ответ

- ${\frac{1}{\sqrt{10}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2847