Информация о задаче

Задача 54906

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружности проведены хорды AC и BD, пересекающиеся в точке E, причём касательная к окружности, проходящая через точку A, параллельна BD. Известно, что CD : ED = 3 : 2 и S_ABE = 8. Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Треугольник ACB подобен треугольнику ABE, а треугольник ABE — треугольнику DCE.

Решение

Диаметр окружности, проведённый через точку A, перпендикулярен данной касательной, поэтому он перпендикулярен и хорде BD, а значит, делит её пополам. Следовательно, треугольник ABD равнобедренный, поэтому дуги AB и AD, не содержащие точку C, равны, значит,

$\displaystyle \angle$ ABE = $\displaystyle \angle$ ABD = $\displaystyle \angle$ ACD.

Треугольники ACB и ABE подобны по двум углам, причём коэффициент подобия равен ${\frac{AB}{AE}}$ , а из подобия треугольников ABE и DCE следует, что

$\displaystyle {\frac{AB}{AE}}$ = $\displaystyle {\frac{CD}{DE}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ .

Поэтому

S_ABC = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{AB}{AE}}\right.$ $\displaystyle {\frac{AB}{AE}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{AB}{AE}}\right)^{2}_{}$ S_ABE = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{4}}$ ^.8 = 18.

Ответ

18.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2850