Информация о задаче

Задача 54915

Темы:	[	Площадь четырехугольника	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны четырёхугольника равны a, b, c и d. Известно, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь равна $\sqrt{abcd}$ .

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой косинусов и свойством описанного четырёхугольника.

Решение

Пусть угол между сторонами a и b равен $\alpha$ . Тогда угол между сторонами c и d равен 180^o - $\alpha$ . Выразим двумя способами по теореме косинусов квадрат диагонали, соединяющей вершины двух других углов:

a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \alpha$ = c² + d² + 2cd cos(180^o - $\displaystyle \alpha$ ), или

a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \alpha$ = c² + d² + 2cd cos $\displaystyle \alpha$ .

Отсюда находим, что

2(ab + cd )cos $\displaystyle \alpha$ = a² + b² - c² - d².

Поскольку в четыреугольник можно вписать окружность, то a + c = b + d, или a - b = d - c. Тогда

a² + b² - 2ab = c² + d² - 2cd $\displaystyle \Rightarrow$ a² + b² - c² - d² = 2(ab - cd ) $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ 2(ab + cd )cos $\displaystyle \alpha$ = 2(ab - cd ) $\displaystyle \Rightarrow$ cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{ab - cd}{ab + cd}}$ .

Пусть S — площадь данного четырёхугольника. Тогда

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ cd sin(180^o - $\displaystyle \alpha$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (ab + cd )sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (ab + cd ) $\displaystyle \sqrt{1 - \cos ^{2}\alpha}$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (ab + cd ) $\displaystyle \sqrt{1 - \left(\frac{ab - cd}{ab + cd}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{(ab - cd)^{2}- (ab + cd)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{abcd}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2859