Задача 54923

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне AC, причём  AD = 2DC.  Точка E лежит на стороне BC. Площадь треугольника ABD равна 3, площадь треугольника AED равна 1. Отрезки AE и BD пересекаются в точке O. Найдите отношение площадей треугольников ABO и OED.

Решение

  Поскольку  AC : AD = 3 : 2,  то  S_ABC = ^AC/_AD· S_ADB = ³/₂,  S_AEC = ^AC/_AD S_AED = ³/₂.
  Поэтому  ^CE/_DC = ^S_AEC/_SABC = ¹/₃,  а так как  ^CD/_CA = ¹/₃ = ^CE/_BC,  то  DE || AB.  Значит, треугольники DOE и AOB подобны с коэффициентом
^DE/_AO = ^CD/_CA = ¹/₃.
  Следовательно,  ^S_OED/_SABO = (¹/₃)² = ¹/₉.

Ответ

9 : 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2867