Информация о задаче

Задача 54928

Темы:	[	Треугольник (экстремальные свойства)	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Формула Герона	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC со стороной AC = 8 проведена биссектриса BL. Известно, что площади треугольников ABL и BLC относятся как 3 : 1. Найдите биссектрису BL, при которой высота, опущенная из вершины B на основание AC, будет наибольшей.

Подсказка

Воспользуйтесь свойством биссектрисы и теоремой косинусов.

Решение

По свойству биссектрисы треугольника ${\frac{AL}{CL}}$ = ${\frac{AB}{BC}}$ , а т.к.

$\displaystyle {\frac{AL}{CL}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABL}}{S_{\Delta BLC}}}$ = 3,

то ${\frac{AB}{BC}}$ = 3.

Обозначим BC = a. Тогда AB = 3a. По формуле Герона

S_ABC = $\displaystyle \sqrt{(2a + 4)(a + 4)(4 - a)(2a - 4)}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{(a^{2} - 4)(16 - a^{2})}$ .

Пусть BH — высота треугольника ABC. Обозначим BH = h. Тогда

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.h = 4h,

поэтому

h = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ^.2 $\displaystyle \sqrt{(a^{2} - 4)(16 - a^{2})}$ $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (a² - 4 + 16 - a²) = 3,

причём равенство достигается при a² - 4 = 16 - a², т.е. при a = $\sqrt{10}$ . Тогда

BC = a = $\displaystyle \sqrt{10}$ , AB = 3a = 3 $\displaystyle \sqrt{10}$ .

Из прямоугольного треугольника AHB находим, что

sin $\displaystyle \angle$ BAH = $\displaystyle {\frac{BH}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{h}{3a}}$ = $\displaystyle {\frac{3}{3\sqrt{10}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$ .

Тогда cos $\angle$ BAH = ${\frac{3}{\sqrt{10}}}$ (угол BAH острый, поскольку в треугольнике ABC он лежит против стороны BC < AB), а т.к.

AL = AC^. $\displaystyle {\frac{AL}{AC}}$ = 8^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ = 6,

то по теореме косинусов находим, что

BL² = AB² + AL² - 2AB^.AL cos $\displaystyle \angle$ BAH = 90 + 36 - 2^.3 $\displaystyle \sqrt{10}$ ^.6^. $\displaystyle {\frac{3}{\sqrt{10}}}$ =

= 126 - 108 = 18.

Следовательно, AL = 3 $\sqrt{2}$ .

Ответ

3 $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2872